0%
Главная
Статьи
Немного математики для фьюзинга
Недавно для проекта «Арабески» мне понадобилось изготовить много деталей с как бы нарисованными окружностями.
Ничего сложного. Вырезала кучу кружочков, положила друг на друга и отправила в печь на полный фьюзинг. Получила то, что хотела. Но возникла пара вопросов.
Если честно, я ожидала, что полученные блинчики будут побольше в диаметре, и, собственно, в печь я их положила подальше друг от друга. Каково же было мое удивление, когда я увидела, что они практически не изменили свой размер! А ведь там было целых 8! слоев.
Ничего сложного. Вырезала кучу кружочков, положила друг на друга и отправила в печь на полный фьюзинг. Получила то, что хотела. Но возникла пара вопросов.
Если честно, я ожидала, что полученные блинчики будут побольше в диаметре, и, собственно, в печь я их положила подальше друг от друга. Каково же было мое удивление, когда я увидела, что они практически не изменили свой размер! А ведь там было целых 8! слоев.
для начинающих и опытных мастеров
Базовый курс
Основной онлайн курс подготовлен в двух форматах: для начинающих фьюзеров и формат для мастеров, желающих стать профессионалами. Каждый формат имеет также три учебных плана, различающихся по времени, составу и стоимости. Выберите подходящий формат курса и приступайте!
Я, конечно, немного изменила первоначальную идею, чтобы использовать блины меньшего диаметра, но на будущее решила, что предварительно прикину поточнее.
А сделать это совсем несложно! Достаточно вспомнить геометрию начальных классов.
А для чего?
Что делаем?
Рассчитывать изменения размера мы будем через объем V – Потому что это та величина, которая останется неизменной после спекания деталей.
Каждая наша вырезанная круглая деталь, по сути, представляет собой цилиндр, фигуру, имеющую круглое основание и определенную высоту.
А сделать это совсем несложно! Достаточно вспомнить геометрию начальных классов.
А для чего?
- во-первых, мы можем контролировать необходимый нам размер
- во-вторых, мы можем более экономно располагать детали в печи, что особенно актуально для владельцев небольших печек
Что делаем?
Рассчитывать изменения размера мы будем через объем V – Потому что это та величина, которая останется неизменной после спекания деталей.
Каждая наша вырезанная круглая деталь, по сути, представляет собой цилиндр, фигуру, имеющую круглое основание и определенную высоту.
Объём
Объем цилиндра равен площади этого самого основания, помноженной на высоту.
V = Sh
Площадь основания вычислим по формуле площади окружности
S = πR2
То есть
V = πR2h
Объем полученной детали будет равен сумме (Σ) объемов исходных кружочков, потому что не изменится ни количество стекла, ни его плотность. Для примера расчетов возьмем количество исходных кружков за 5, но сюда можно поставить любое число.
V = ΣV1-5
V = V1 + V2 + V3 + V4 + V5
Теперь нам нужно вычислить эти объемы и сложить их.
V = πR12h + πR22h + πR32h + πR42h + πR52h
Конечно, можно сделать это именно таким образом. Но поскольку в вычислениях будут постоянные величины, такие как число π = 3,14, и высота наших деталей h, которая нам известна – это толщина стекла, равная 3 мм, можно вывести общую формулу (она пригодится и в дальнейшем), чтобы не делать лишних вычислений, то есть свести эти действия в одну формулу, вынеся за скобки постоянные величины.
Вот наша формула, которую мы будем использовать:
Вот наша формула, которую мы будем использовать:
V = πh(R12 + R22 +R32 + R42 +R52) = 3,14 • 3 (R12 + R22 +R32 + R42 +R52)
V = 9,42 (R12 + R22 +R32 + R42 +R52)
Размер после полного фьюзинга
После фьюзинга объем нашей фигурки не изменится. Но изменятся диаметр и толщина, поскольку все детали сольются. Но мы знаем, что на температурах полного фьюзинга стекло проявляет свойства жидкости, в данном конкретном случае оно будет образовывать каплю, толщина которой будет 6 мм.
Эта толщина в 6 мм обусловлена сочетанием различных факторов, таких как вязкость, плотность, направления поверхностного натяжения, силы поверхностного натяжения, и т.д.
Эта толщина в 6 мм обусловлена сочетанием различных факторов, таких как вязкость, плотность, направления поверхностного натяжения, силы поверхностного натяжения, и т.д.
И теперь, используя формулу объема цилиндра, зная этот объем из предыдущих вычислений, мы легко выведем новый радиус, (или диаметр), подставив в вычисления новую высоту в 6 мм.
V = πR2h ⮕ R2 =V / πh ⮕ R = √ V / πh
Таким образом новая деталь после полного фьюзинга будет иметь радиус
R = √ V / πh
- Не забудьте, что теперь высота нашего нового изделия будет равна 6 мм!
Чтобы найти диаметр нужно всего лишь R умножить на 2.
Получившаяся в результате полного фьюзинга деталь не будет идеальным цилиндром, но в случае наших расчетов незначительной кривизной поверхности можно пренебречь.
Практика
А теперь применим результаты наших вычислений на практике.
Мы делаем нужную деталь из 5 разноцветных слоев, то есть из 5 круглых деталей.
Мы делаем нужную деталь из 5 разноцветных слоев, то есть из 5 круглых деталей.
R1 = 8 мм
R2 = 12 мм
R3 = 16 мм
R4 = 20 мм
R5 = 25 мм
R2 = 12 мм
R3 = 16 мм
R4 = 20 мм
R5 = 25 мм
Радиус! Не диаметр!
Подставим переменные значения в нашу формулу.
V = πh(R12 + R22 +R32 + R42 +R52)
V = 3,14 • 3 (82 + 122 + 162 + 202 + 252)
V = 14026,38 мм3
V = 3,14 • 3 (82 + 122 + 162 + 202 + 252)
V = 14026,38 мм3
Теперь найдем радиус новой фигурки после полного фьюзинга:
R = √ V / πh
R = 27,28 мм
D = 2R = 54,5
R = 27,28 мм
D = 2R = 54,5
То есть, несмотря на всю эту многослойность, наша фигурка расплывется совсем чуть-чуть, прибавив с каждой стороны всего чуть больше 2 мм.
А если наоборот?
Как вычислить диаметры кружочков, если нам нужно получить многослойную деталь определенного размера?
Тогда нужно двинуться в обратном направлении: вычислить объем необходимой детали и через имеющиеся формулы вычислить диаметры кружков. Эта задача будет немного посложнее, нам придется вспомнить и алгебру – решение квадратных уравнений.
На самом деле, если мы справлялись с этим в 6-7 классе средней школы, не составит труда немного «размять» наш мозг сейчас!
Например, нам нужно сделать деталь диаметром 8 см = 80 мм, то есть радиус = 40 мм (переведем в мм чтобы при расчетах не мучиться с запятыми в десятичных дробях).
Сколько слоев? Пусть будет 5, то есть нам нужно получить диаметры для каждой из этих деталей.
Тогда нужно двинуться в обратном направлении: вычислить объем необходимой детали и через имеющиеся формулы вычислить диаметры кружков. Эта задача будет немного посложнее, нам придется вспомнить и алгебру – решение квадратных уравнений.
На самом деле, если мы справлялись с этим в 6-7 классе средней школы, не составит труда немного «размять» наш мозг сейчас!
Например, нам нужно сделать деталь диаметром 8 см = 80 мм, то есть радиус = 40 мм (переведем в мм чтобы при расчетах не мучиться с запятыми в десятичных дробях).
Сколько слоев? Пусть будет 5, то есть нам нужно получить диаметры для каждой из этих деталей.
Поскольку радиус задан – 40 мм, знаем толщину – 6 мм, объем мы легко вычислим по формуле.
V = πR2h
V = 3,14 • 402 • 6 = 30144 мм3
V = 3,14 • 402 • 6 = 30144 мм3
Этот же объем в сумме будут иметь и исходные кружочки.
Чтобы рисунок получился отчетливым, зададим расстояние между краями – 3 мм.
Обозначим самый маленький радиус – Х. Тогда каждый следующий диаметр будет отличаться от предыдущего на 3 мм:
Обозначим самый маленький радиус – Х. Тогда каждый следующий диаметр будет отличаться от предыдущего на 3 мм:
R1 = х
R2 = х+3
R3 = х+6
R4 = х+9
R5 = х+12
R2 = х+3
R3 = х+6
R4 = х+9
R5 = х+12
Если мы найдем x, радиус наименьшего кружочка, то найдем размеры и всех остальных.
Итак
Итак
V = πR2h - объем необходимой детали, он равен 30144 мм3, мы посчитали это ранее.
V = πh(R12 + R22 +R32 + R42 +R52) – общий объем исходных кружков, он такой же, как и у планируемой детали.
То есть
πh(R12 + R22 +R32 + R42 +R52) = 30144 мм3
Для того, чтобы не путаться, избавимся от лишних цифр
(R12 + R22 +R32 + R42 +R52) = 30144/ πh
h = 3 мм
(R12 + R22 +R32 + R42 +R52) = 30144/ πh = 30144/3,14 • 3 = 30144/9,42 = 3200
h = 3 мм
(R12 + R22 +R32 + R42 +R52) = 30144/ πh = 30144/3,14 • 3 = 30144/9,42 = 3200
Теперь мы будем решать уравнение
R12 + R22 +R32 + R42 +R52 = 3200
Подставим значения, выраженные через х:
R1 = х
R2 = х+3
R3 = х+6
R4 = х+9
R5 = х+12
х2 + (х+3)2 + (х+6)2 + (х+9)2 + (х+12)2 = 3200
R2 = х+3
R3 = х+6
R4 = х+9
R5 = х+12
х2 + (х+3)2 + (х+6)2 + (х+9)2 + (х+12)2 = 3200
Вспомним, чему равен квадрат суммы:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(х+3)2 = x2+ 2 • 3x + 32 = x2 + 6x + 9
(х+6)2 =x2 + 2 • 6x + 62 = x2 + 12x + 36
(х+9)2 = x2 + 2 • 9x + 92 = x2 + 18x + 81
(х+12)2 = x2 + 2 • 12x + 122 = x2 + 24x + 144
(х+6)2 =x2 + 2 • 6x + 62 = x2 + 12x + 36
(х+9)2 = x2 + 2 • 9x + 92 = x2 + 18x + 81
(х+12)2 = x2 + 2 • 12x + 122 = x2 + 24x + 144
Итак, мы получаем вот такую длинную штуку:
x2 + x2 + 6x + 9 + x2 + 12x + 36 + x2 + 18x + 81 + x2 + 24x + 144 = 3200
Приведем это в божеский вид, пользуясь математическими правилами:
5х2 + 60х + 270 = 3200
5х2 + 60х = 3200 – 270 = 2930
5х2 + 60х = 2930
5х2 + 60х = 3200 – 270 = 2930
5х2 + 60х = 2930
Это так называемое квадратное уравнение, которое нам нужно решить.
Для решения квадратного уравнения нам нужно сделать две вещи:
5х2 + 60х – 2930 = 0
Схема квадратного уравнения вот такая:
a х2 + b х + c = 0
Мы видим здесь два коэффициента: a и b, и свободный член c, соответственно:
a = 5
b = 60
c = 2930
Теперь вернемся к решению квадратного уравнения. Считается, что у такого уравнения есть два решения, я посчитала, одно из них оказывается отрицательным, что в нашем случае исключено, так как у нас х – это радиус, а радиус не может отрицательным быть не может. Поэтому в нашем случае будем искать только одно значение.
х = −b + √ D / 2a
С коэффициентами a и b все понятно, а вот дискриминант нужно найти, для него есть своя формула:
D = b2 − 4ac
- Ввести такую штуку, как дискриминант D. Не вдаваясь в подробности, просто воспользуемся формулами.
- Перенести все значения в левую часть, чтобы привести наше уравнение вот в такой вид:
5х2 + 60х – 2930 = 0
Схема квадратного уравнения вот такая:
a х2 + b х + c = 0
Мы видим здесь два коэффициента: a и b, и свободный член c, соответственно:
a = 5
b = 60
c = 2930
Теперь вернемся к решению квадратного уравнения. Считается, что у такого уравнения есть два решения, я посчитала, одно из них оказывается отрицательным, что в нашем случае исключено, так как у нас х – это радиус, а радиус не может отрицательным быть не может. Поэтому в нашем случае будем искать только одно значение.
х = −b + √ D / 2a
С коэффициентами a и b все понятно, а вот дискриминант нужно найти, для него есть своя формула:
D = b2 − 4ac
Ну вот, собственно, осталось подставить наши циферки во все эти формулы.
Напомню, что мы решаем уравнение
Напомню, что мы решаем уравнение
5х2 + 60х – 2930 = 0
1) Дискриминант:
D = b2 − 4ac = 602 – 4 • 5 • (–2930) = 62200
2) Теперь найдем х:
х = (−b + √ D)/ 2a = (–60 + √ 62200) / 2 • 5 = 18,9
1) Дискриминант:
D = b2 − 4ac = 602 – 4 • 5 • (–2930) = 62200
2) Теперь найдем х:
х = (−b + √ D)/ 2a = (–60 + √ 62200) / 2 • 5 = 18,9
Позволю себе округлить эту цифру до 19.
Это радиус самого маленького кружка, и теперь легко найдем размеры остальных:
Это радиус самого маленького кружка, и теперь легко найдем размеры остальных:
R1 = х = 19 мм
R2 = х+3 = 22 мм
R3 = х+6 = 25 мм
R4 = х+9 = 28 мм
R5 = х+12 = 31 мм
R2 = х+3 = 22 мм
R3 = х+6 = 25 мм
R4 = х+9 = 28 мм
R5 = х+12 = 31 мм
Ну и три напутствия в конце:
- Не путайте радиус и диаметр!
- Не путайте толщину 6 мм после полного фьюзинга и толщину листового стекла – 3 мм
- Обратите внимание, что в дискриминанте есть два знака минус, которые после умножения дают плюс. А минус образовался при переносе положительного числа в левую часть уравнения.
Смотрите также:
Печь для обжига - Kiln
Слово kiln означает печь вообще. В стеклоделии kiln – печь любого рода: газовая, электрическая, с открытым огнем, муфельная.
Фьюзинг - Fusing
Fusing – спекание, сплавление, слияние. От глагола to fuse (плавить, сливаться, сплавлять, плавить, соединяться).
Что общего между формой для кекса и стеклянной тарелкой?
Не так давно в ФБ была выложена замечательная подборка фотографий – дипломные работы из стекла выпускников Строгановского училища. Работы очень разные по технике, по замыслу, по способу работы со стеклом.
Если вы решили работать со стеклом, стоит ли "танцевать" от печки?
Очень часто ко мне обращаются за советом: какую печь приобрести для занятий фьюзингом. Точнее, какой марке отдать предпочтение.
Контроль искажения формы проектов при фьюзинге
Одной из распространенных проблем, возникающих при фьюзинге стекла, является искажение формы проекта. Чтобы избежать этого или свести к минимуму, необходимо понимать, как ведет себя многослойный проект при нагревании.
Бесплатный материал
Алгоритм качества: 10 шагов
Если вы хотите, чтобы ваше изделие выглядело красиво, качественно и профессионально, скачивайте и следуйте этому несложному алгоритму.
Алгоритм качества: 10 шагов
Библиотека фьюзера
Подписывайтесь
Оставьте ваши контакты, чтобы быть в курсе предстоящих мероприятий, статей и новых программ обучения
Понравилась статья?